Rozwiąż {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-y=-5$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$x+2y=1$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$x=-2y+1$$

Podstaw -2y+1 do x w drugim równaniu: x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Dodaj -2y do -y.

$$-3y+1=-5$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$-3y=-6$$

Podziel obie strony przez -3.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu x=-2y+1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-2\times 2+1$$

Pomnóż -2 przez 2.

$$x=-4+1$$

Dodaj 1 do -4.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-y=-5$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-3,y=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-y=-5$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Odejmij x-y=-5 od x+2y=1, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Dodaj x do -x. Czynniki x i -x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2y+y=1+5$$

Dodaj 2y do y.

$$3y=1+5$$

Dodaj 1 do 5.

$$3y=6$$

Podziel obie strony przez 3.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu x-y=-5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-2=-5$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=2$$