Rozwiąż {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x-3y=5$$

Dodaj 3y do obu stron równania.

$$2x=3y+5$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Podstaw \frac{3y+5}{2} do x w drugim równaniu: 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Pomnóż 3 przez \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Dodaj \frac{9y}{2} do -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Odejmij \frac{15}{2} od obu stron równania.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{5}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Pomnóż \frac{3}{2} przez -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Dodaj \frac{5}{2} do -\frac{3}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Aby czynniki 2x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Uprość.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Odejmij 6x-4y=10 od 6x-9y=15, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Dodaj 6x do -6x. Czynniki 6x i -6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-9y+4y=15-10$$

Dodaj -9y do 4y.

$$-5y=15-10$$

Dodaj 15 do -10.

$$-5y=5$$

Podziel obie strony przez -5.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu 3x-2y=5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Pomnóż -2 przez -1.

$$3x+2=5$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$3x=3$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=-1$$