Rozwiąż {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x-3y=15$$

Dodaj 3y do obu stron równania.

$$2x=3y+15$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Podstaw \frac{15+3y}{2} do x w drugim równaniu: x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Dodaj \frac{3y}{2} do y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Odejmij \frac{15}{2} od obu stron równania.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{5}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Podstaw -\frac{13}{5} do y w równaniu x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Pomnóż \frac{3}{2} przez -\frac{13}{5}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Dodaj \frac{15}{2} do -\frac{39}{10}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{18}{5}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Aby czynniki 2x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Odejmij 2x+2y=2 od 2x-3y=15, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Dodaj 2x do -2x. Czynniki 2x i -2x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-3y-2y=15-2$$

Dodaj -3y do -2y.

$$-5y=15-2$$

Dodaj 15 do -2.

$$-5y=13$$

Podziel obie strony przez -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Podstaw -\frac{13}{5} do y w równaniu x+y=1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Dodaj \frac{13}{5} do obu stron równania.

$$x=\frac{18}{5}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$