Rozwiąż {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+y=6$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$2x=-y+6$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Podstaw -\frac{y}{2}+3 do x w drugim równaniu: 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Pomnóż 4 przez -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Dodaj -2y do -y.

$$-3y+12=7$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$-3y=-5$$

Podziel obie strony przez -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Podstaw \frac{5}{3} do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y+3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez \frac{5}{3}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Dodaj 3 do -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Aby czynniki 2x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Uprość.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Odejmij 8x-2y=14 od 8x+4y=24, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Dodaj 8x do -8x. Czynniki 8x i -8x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$4y+2y=24-14$$

Dodaj 4y do 2y.

$$6y=24-14$$

Dodaj 24 do -14.

$$6y=10$$

Podziel obie strony przez 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Podstaw \frac{5}{3} do y w równaniu 4x-y=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Dodaj \frac{5}{3} do obu stron równania.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$