Rozwiąż {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+y=3$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$2x=-y+3$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Podstaw \frac{-y+3}{2} do x w drugim równaniu: x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Dodaj -\frac{y}{2} do -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Odejmij \frac{3}{2} od obu stron równania.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{3}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=\frac{1}{3}$$

Podstaw \frac{1}{3} do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez \frac{1}{3}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Dodaj \frac{3}{2} do -\frac{1}{6}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{4}{3}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Aby czynniki 2x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Uprość.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Odejmij 2x-2y=2 od 2x+y=3, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Dodaj 2x do -2x. Czynniki 2x i -2x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$y+2y=3-2$$

Dodaj y do 2y.

$$3y=3-2$$

Dodaj 3 do -2.

$$3y=1$$

Podziel obie strony przez 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Podstaw \frac{1}{3} do y w równaniu x-y=1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Dodaj \frac{1}{3} do obu stron równania.

$$x=\frac{4}{3}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$