Rozwiąż {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$2x+y=3$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$2x=-y+3$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Podstaw \frac{-y+3}{2} do x w drugim równaniu: x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Dodaj -\frac{y}{2} do y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Odejmij \frac{3}{2} od obu stron równania.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Pomnóż obie strony przez 2.

$$y=7$$

Podstaw 7 do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Dodaj \frac{3}{2} do -\frac{7}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-2,y=7$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-2,y=7$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odejmij x+y=5 od 2x+y=3, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2x-x=3-5$$

Dodaj 2x do -x.

$$x=3-5$$

Dodaj 3 do -5.

$$x=-2$$

Podstaw -2 do x w równaniu x+y=5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-2+y=5$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$y=7$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-2,y=7$$