Rozwiąż {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+4y=2060$$

Odejmij 4y od obu stron równania.

$$2x=-4y+2060$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Podstaw -2y+1030 do x w drugim równaniu: 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Pomnóż 5 przez -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Dodaj -10y do 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Odejmij 5150 od obu stron równania.

$$-3y=-3510$$

Podziel obie strony przez -3.

$$y=1170$$

Podstaw 1170 do y w równaniu x=-2y+1030. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Pomnóż -2 przez 1170.

$$x=-2340+1030$$

Dodaj 1030 do -2340.

$$x=-1310$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1310,y=1170$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1310,y=1170$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Aby czynniki 2x i 5x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Uprość.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Odejmij 10x+14y=3280 od 10x+20y=10300, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Dodaj 10x do -10x. Czynniki 10x i -10x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$20y-14y=10300-3280$$

Dodaj 20y do -14y.

$$6y=10300-3280$$

Dodaj 10300 do -3280.

$$6y=7020$$

Podziel obie strony przez 6.

$$y=1170$$

Podstaw 1170 do y w równaniu 5x+7y=1640. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Pomnóż 7 przez 1170.

$$5x+8190=1640$$

Odejmij 8190 od obu stron równania.

$$5x=-6550$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=-1310$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1310,y=1170$$