Rozwiąż {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem m, n

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla m izolując m na lewej stronie znaku równości.

$$2m-3n=1$$

Dodaj 3n do obu stron równania.

$$2m=3n+1$$

Podziel obie strony przez 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez 3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{3n+1}{2} do m w drugim równaniu: \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Pomnóż \frac{5}{3} przez \frac{3n+1}{2}.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Dodaj \frac{5n}{2} do -2n.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Odejmij \frac{5}{6} od obu stron równania.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

Pomnóż obie strony przez 2.

$$n=\frac{1}{3}$$

Podstaw \frac{1}{3} do n w równaniu m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem m.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

Pomnóż \frac{3}{2} przez \frac{1}{3}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do \frac{1}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$m=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy m i n.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Aby czynniki 2m i \frac{5m}{3} były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez \frac{5}{3} oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Uprość.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Odejmij \frac{10}{3}m-4n=2 od \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3}, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Dodaj \frac{10m}{3} do -\frac{10m}{3}. Czynniki \frac{10m}{3} i -\frac{10m}{3} skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Dodaj -5n do 4n.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

Dodaj \frac{5}{3} do -2.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

Podziel obie strony przez -1.

$$n=\frac{1}{3}$$

Podstaw \frac{1}{3} do n w równaniu \frac{5}{3}m-2n=1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem m.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

Pomnóż -2 przez \frac{1}{3}.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

Dodaj \frac{2}{3} do obu stron równania.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{5}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$m=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$