Przejdź do głównej zawartości
$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right. $
Rozwiąż względem x, y (complex solution)
Tick mark Image
Rozwiąż względem x, y
Tick mark Image
Wykres

Podobne zadania z wyszukiwania w sieci web

Udostępnij

2ax+by=14,-2x+9y=-19
Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.
2ax+by=14
Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.
2ax=\left(-b\right)y+14
Odejmij by od obu stron równania.
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
Podziel obie strony przez 2a.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
Pomnóż \frac{1}{2a} przez -by+14.
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
Podstaw \frac{-by+14}{2a} do x w drugim równaniu: -2x+9y=-19.
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
Pomnóż -2 przez \frac{-by+14}{2a}.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
Dodaj \frac{by}{a} do 9y.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
Dodaj \frac{14}{a} do obu stron równania.
y=\frac{14-19a}{9a+b}
Podziel obie strony przez 9+\frac{b}{a}.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{14-19a}{9a+b}\right)+\frac{7}{a}
Podstaw \frac{14-19a}{9a+b} do y w równaniu x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
Pomnóż -\frac{b}{2a} przez \frac{14-19a}{9a+b}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Dodaj \frac{7}{a} do -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
System jest teraz rozwiązany.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Zapisz równania w formie macierzy.
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Wykonaj operacje arytmetyczne.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
Pomnóż macierze.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
Wykonaj operacje arytmetyczne.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Wyodrębnij elementy macierzy x i y.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
Aby czynniki 2ax i -2x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2a.
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
Uprość.
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Odejmij \left(-4a\right)x+18ay=-38a od \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Dodaj -4ax do 4ax. Czynniki -4ax i 4ax skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
Dodaj -2by do -18ay.
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
Dodaj -28 do 38a.
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Podziel obie strony przez -2b-18a.
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
Podstaw -\frac{-14+19a}{b+9a} do y w równaniu -2x+9y=-19. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
Pomnóż 9 przez -\frac{-14+19a}{b+9a}.
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
Dodaj \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} do obu stron równania.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Podziel obie strony przez -2.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
System jest teraz rozwiązany.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.
2ax+by=14
Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.
2ax=\left(-b\right)y+14
Odejmij by od obu stron równania.
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
Podziel obie strony przez 2a.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
Pomnóż \frac{1}{2a} przez -by+14.
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
Podstaw \frac{-by+14}{2a} do x w drugim równaniu: -2x+9y=-19.
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
Pomnóż -2 przez \frac{-by+14}{2a}.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
Dodaj \frac{by}{a} do 9y.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
Dodaj \frac{14}{a} do obu stron równania.
y=\frac{14-19a}{9a+b}
Podziel obie strony przez 9+\frac{b}{a}.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{14-19a}{9a+b}\right)+\frac{7}{a}
Podstaw \frac{14-19a}{9a+b} do y w równaniu x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
Pomnóż -\frac{b}{2a} przez \frac{14-19a}{9a+b}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Dodaj \frac{7}{a} do -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
System jest teraz rozwiązany.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Zapisz równania w formie macierzy.
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Wykonaj operacje arytmetyczne.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
Pomnóż macierze.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
Wykonaj operacje arytmetyczne.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Wyodrębnij elementy macierzy x i y.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
Aby czynniki 2ax i -2x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2a.
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
Uprość.
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Odejmij \left(-4a\right)x+18ay=-38a od \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Dodaj -4ax do 4ax. Czynniki -4ax i 4ax skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
Dodaj -2by do -18ay.
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
Dodaj -28 do 38a.
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Podziel obie strony przez -2b-18a.
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
Podstaw -\frac{-14+19a}{b+9a} do y w równaniu -2x+9y=-19. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
Pomnóż 9 przez -\frac{-14+19a}{b+9a}.
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
Dodaj \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} do obu stron równania.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Podziel obie strony przez -2.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
System jest teraz rozwiązany.