Rozwiąż {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$4x+5=5y$$

Odejmij 5y od obu stron.

$$4x+5-5y=0$$

Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-5y=-5$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$4x-5y=-5$$

Dodaj 5y do obu stron równania.

$$4x=5y-5$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Podstaw \frac{-5+5y}{4} do x w drugim równaniu: 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Pomnóż 3 przez \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Dodaj \frac{15y}{4} do y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Dodaj \frac{15}{4} do obu stron równania.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{19}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Dodaj -\frac{5}{4} do \frac{5}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=0$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=0,y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$4x+5=5y$$

Odejmij 5y od obu stron.

$$4x+5-5y=0$$

Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-5y=-5$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=0,y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$4x+5=5y$$

Odejmij 5y od obu stron.

$$4x+5-5y=0$$

Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-5y=-5$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Aby czynniki 4x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Uprość.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Odejmij 12x+4y=4 od 12x-15y=-15, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Dodaj 12x do -12x. Czynniki 12x i -12x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-15y-4y=-15-4$$

Dodaj -15y do -4y.

$$-19y=-15-4$$

Dodaj -15 do -4.

$$-19y=-19$$

Podziel obie strony przez -19.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu 3x+y=1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+1=1$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$3x=0$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=0$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=0,y=1$$