Rozwiąż {c}{x+y=5}{-3x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { - 3 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=5$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+5$$

Podstaw -y+5 do x w drugim równaniu: -3x+y=-3.

$$-3\left(-y+5\right)+y=-3$$

Pomnóż -3 przez -y+5.

$$3y-15+y=-3$$

Dodaj 3y do y.

$$4y-15=-3$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$4y=12$$

Podziel obie strony przez 4.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-y+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3+5$$

Dodaj 5 do -3.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=2,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Odejmij -3x+y=-3 od x+y=5, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x+3x+y-y=5+3$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$x+3x=5+3$$

Dodaj x do 3x.

$$4x=5+3$$

Dodaj 5 do 3.

$$4x=8$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=2$$

Podstaw 2 do x w równaniu -3x+y=-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-3\times 2+y=-3$$

Pomnóż -3 przez 2.

$$-6+y=-3$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$y=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=3$$