Rozwiąż {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x-y=4$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$2x=y+4$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Podstaw \frac{y}{2}+2 do x w drugim równaniu: 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Pomnóż 4 przez \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Dodaj 2y do 3y.

$$5y+8=3$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$5y=-5$$

Podziel obie strony przez 5.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu x=\frac{1}{2}y+2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Dodaj 2 do -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Aby czynniki 2x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Uprość.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Odejmij 8x+6y=6 od 8x-4y=16, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Dodaj 8x do -8x. Czynniki 8x i -8x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-4y-6y=16-6$$

Dodaj -4y do -6y.

$$-10y=16-6$$

Dodaj 16 do -6.

$$-10y=10$$

Podziel obie strony przez -10.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu 4x+3y=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Pomnóż 3 przez -1.

$$4x-3=3$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$4x=6$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$