Rozwiąż ∫ (from 1 to 4) of (-4/7sqrt{x}+3/4sqrt{x^3}-sqrt[4]{x5}+3) wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 4 } (- \frac{ 4 }{ 7 } \sqrt{ x } + \frac{ 3 }{ 4 } \sqrt{ { x }^{ 3 } } - \sqrt[ 4 ]{ x5 } +3) d x$$

Oblicz

$$-3\sqrt[4]{x_{5}}+\frac{469}{30}$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int -\frac{4\sqrt{x}}{7}+\frac{3\sqrt{x^{3}}}{4}-\sqrt[4]{x_{5}}+3\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int -\frac{4\sqrt{x}}{7}\mathrm{d}x+\int \frac{3x^{\frac{3}{2}}}{4}\mathrm{d}x+\int -\sqrt[4]{x_{5}}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$-\frac{4\int \sqrt{x}\mathrm{d}x}{7}+\frac{3\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x}{4}-\int \sqrt[4]{x_{5}}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Przepisz \sqrt{x} jako x^{\frac{1}{2}}. Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x na \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Uprość. Pomnóż -\frac{4}{7} przez \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{21}+\frac{3\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x}{4}-\int \sqrt[4]{x_{5}}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x na \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}. Pomnóż \frac{3}{4} przez \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}.

$$-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{21}+\frac{3x^{\frac{5}{2}}}{10}-\int \sqrt[4]{x_{5}}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność \sqrt[4]{x_{5}} przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{21}+\frac{3x^{\frac{5}{2}}}{10}-\sqrt[4]{x_{5}}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność 3 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{21}+\frac{3x^{\frac{5}{2}}}{10}-\sqrt[4]{x_{5}}x+3x$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$-\frac{8}{21}\times 4^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{10}\times 4^{\frac{5}{2}}-x_{5}^{\frac{1}{4}}\times 4+3\times 4-\left(-\frac{8}{21}\times 1^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{10}\times 1^{\frac{5}{2}}-x_{5}^{\frac{1}{4}}+3\times 1\right)$$

Uprość.

$$\frac{469}{30}-3\sqrt[4]{x_{5}}$$

Różniczkuj względem x_5

$$-\frac{3}{4x_{5}^{\frac{3}{4}}}$$