Rozwiąż ∫ x(x+1)^2

$$\int x ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

Oblicz

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+1\right)^{2}.

$$\int x\left(x^{2}+2x+1\right)\mathrm{d}x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x^{2}+2x+1.

$$\int x^{3}+2x^{2}+x\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{3}\mathrm{d}x na \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{2}\mathrm{d}x na \frac{x^{3}}{3}. Pomnóż 2 przez \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Uprość.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Jeśli F\left(x\right) jest funkcją pierwotną f\left(x\right), to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f\left(x\right) jest określony przez F\left(x\right)+C. W związku z tym, dodaj stałą całkowania C\in \mathrm{R} do wyniku.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+С$$

Różniczkuj względem x

$$x\left(x+1\right)^{2}$$