Rozwiąż ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Oblicz

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Przepisz \frac{1}{\sqrt{x}} jako x^{-\frac{1}{2}}. Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x na \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Upraszczaj i konwertuj z formy wykładniczej na pierwiastkową.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż -1 przez \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Uprość.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$