Rozwiąż ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Oblicz

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Podnieś \sqrt{x} do potęgi 2, aby uzyskać x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 16-8\sqrt{x}+x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Odejmij 16 od 6, aby uzyskać -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność -10 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Przepisz \sqrt{x} jako x^{\frac{1}{2}}. Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x na \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Uprość. Pomnóż 8 przez \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż -1 przez \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Uprość.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Uprość.

$$-\frac{16}{3}$$