Rozwiąż ∫ (from 0 to 4) of sqrt{x}-x-2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } \sqrt { x } - x - 2 d x$$

Oblicz

$$-\frac{32}{3}\approx -10,666666667$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int \sqrt{x}-x-2\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Przepisz \sqrt{x} jako x^{\frac{1}{2}}. Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x na \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Uprość.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż -1 przez \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -2\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność -2 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^{2}}{2}-2\times 4-\left(\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{2}}{2}-2\times 0\right)$$

Uprość.

$$-\frac{32}{3}$$