Rozwiąż ∫ (from 0 to 3) of 5(2-2/3x)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } 5 ( 2 - \frac { 2 } { 3 } x ) ^ { 2 }$$

Oblicz

$$20$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2-\frac{2}{3}x\right)^{2}.

$$\int _{0}^{3}5\left(4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 5 przez 4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2}.

$$\int _{0}^{3}20-\frac{40}{3}x+\frac{20}{9}x^{2}\mathrm{d}x$$

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int 20-\frac{40x}{3}+\frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int 20\mathrm{d}x+\int -\frac{40x}{3}\mathrm{d}x+\int \frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int 20\mathrm{d}x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

Znajdź integralność 20 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$20x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż -\frac{40}{3} przez \frac{x^{2}}{2}.

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{2}\mathrm{d}x na \frac{x^{3}}{3}. Pomnóż \frac{20}{9} przez \frac{x^{3}}{3}.

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20x^{3}}{27}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$20\times 3-\frac{20}{3}\times 3^{2}+\frac{20}{27}\times 3^{3}-\left(20\times 0-\frac{20}{3}\times 0^{2}+\frac{20}{27}\times 0^{3}\right)$$

Uprość.

$$20$$