Rozwiąż ∫ (from 0 to 2 pi) of (t-sint)dt

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) d t$$

Oblicz

$$2\pi ^{2}\approx 19,739208802$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int t-\sin(t)\mathrm{d}t$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -\sin(t)\mathrm{d}t$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int t\mathrm{d}t-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Ponieważ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int t\mathrm{d}t na \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Użyj \int \sin(t)\mathrm{d}t=-\cos(t) z tabeli znanych całek w celu uzyskania wyniku. Pomnóż -1 przez -\cos(t).

$$\frac{t^{2}}{2}+\cos(t)$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\pi \right)^{2}+\cos(2\pi )-\left(\frac{0^{2}}{2}+\cos(0)\right)$$

Uprość.

$$2\pi ^{2}$$