Rozwiąż ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Oblicz

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Ponieważ \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int r\mathrm{d}r na \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Ponieważ \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int r^{2}\mathrm{d}r na \frac{r^{3}}{3}. Pomnóż -1 przez \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Uprość.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Różniczkuj względem x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$