Rozwiąż ∫ (from 0 to 1) of x^2(2-3x^2)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( 2 - 3 x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Oblicz

$$\frac{23}{105}\approx 0,219047619$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2-3x^{2}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(4-12x^{2}+9\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(4-12x^{2}+9x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2} przez 4-12x^{2}+9x^{4}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}-12x^{4}+9x^{6}\mathrm{d}x$$

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int 4x^{2}-12x^{4}+9x^{6}\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -12x^{4}\mathrm{d}x+\int 9x^{6}\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-12\int x^{4}\mathrm{d}x+9\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{2}\mathrm{d}x na \frac{x^{3}}{3}. Pomnóż 4 przez \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-12\int x^{4}\mathrm{d}x+9\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{4}\mathrm{d}x na \frac{x^{5}}{5}. Pomnóż -12 przez \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-\frac{12x^{5}}{5}+9\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{6}\mathrm{d}x na \frac{x^{7}}{7}. Pomnóż 9 przez \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-\frac{12x^{5}}{5}+\frac{9x^{7}}{7}$$

Uprość.

$$\frac{9x^{7}}{7}-\frac{12x^{5}}{5}+\frac{4x^{3}}{3}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{9}{7}\times 1^{7}-\frac{12}{5}\times 1^{5}+\frac{4}{3}\times 1^{3}-\left(\frac{9}{7}\times 0^{7}-\frac{12}{5}\times 0^{5}+\frac{4}{3}\times 0^{3}\right)$$

Uprość.

$$\frac{23}{105}$$