Rozwiąż ∫ (from 0 to 1) of (x-1)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Oblicz

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{2}\mathrm{d}x na \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż -2 przez \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność 1 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{1^{3}}{3}-1^{2}+1-\left(\frac{0^{3}}{3}-0^{2}+0\right)$$

Uprość.

$$\frac{1}{3}$$