Rozwiąż ∫ (from - 1 to 1) of (x-1)^3 wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 3 } d x$$

Oblicz

$$-4$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, aby rozwinąć równanie \left(x-1\right)^{3}.

$$\int _{-1}^{1}x^{3}-3x^{2}+3x-1\mathrm{d}x$$

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{3}\mathrm{d}x na \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{2}\mathrm{d}x na \frac{x^{3}}{3}. Pomnóż -3 przez \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}. Pomnóż 3 przez \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

Znajdź integralność -1 przy użyciu \int a\mathrm{d}x=ax reguły tabeli znanych całek.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-x$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{1^{4}}{4}-1^{3}+\frac{3}{2}\times 1^{2}-1-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\left(-1\right)^{3}+\frac{3}{2}\left(-1\right)^{2}-\left(-1\right)\right)$$

Uprość.

$$-4$$