Rozwiąż frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Rozwiąż względem b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Kroki rozwiązywania równań pierwiastkowych

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Rozważ \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Podnieś do kwadratu 2. Podnieś do kwadratu \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Odejmij 5 od 4, aby uzyskać -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnóż 2+\sqrt{5} przez 2+\sqrt{5}, aby uzyskać \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Dodaj 4 i 5, aby uzyskać 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Każda wartość podzielona przez -1 daje jej przeciwieństwo. Aby znaleźć wartość przeciwną do 9+4\sqrt{5}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Rozważ \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Podnieś do kwadratu 2. Podnieś do kwadratu \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Odejmij 5 od 4, aby uzyskać -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnóż 2-\sqrt{5} przez 2-\sqrt{5}, aby uzyskać \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Dodaj 4 i 5, aby uzyskać 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Każda wartość podzielona przez -1 daje jej przeciwieństwo. Aby znaleźć wartość przeciwną do 9-4\sqrt{5}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Odejmij 9 od -9, aby uzyskać -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Połącz -4\sqrt{5} i 4\sqrt{5}, aby uzyskać 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Odejmij a od obu stron.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Podziel obie strony przez 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Dzielenie przez 5 cofa mnożenie przez 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Rozwiąż względem a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$