Rozwiąż frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Oblicz

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Rozważ \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Podnieś do kwadratu 2. Podnieś do kwadratu \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Odejmij 3 od 4, aby uzyskać 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Wynikiem dzielenia liczby przez jeden jest ta sama liczba.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Pomnóż 2+\sqrt{3} przez 2+\sqrt{3}, aby uzyskać \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Rozważ \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś do kwadratu 2. Podnieś do kwadratu \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Odejmij 3 od 4, aby uzyskać 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Wynikiem dzielenia liczby przez jeden jest ta sama liczba.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Pomnóż 2-\sqrt{3} przez 2-\sqrt{3}, aby uzyskać \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Dodaj 4 i 3, aby uzyskać 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Dodaj 4 i 3, aby uzyskać 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 7-4\sqrt{3}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Liczba przeciwna do -4\sqrt{3} to 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Odejmij 7 od 7, aby uzyskać 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Połącz 4\sqrt{3} i 4\sqrt{3}, aby uzyskać 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$