Rozwiąż frac{{left(36-18sqrt{3}right)}^2}{{left(81-45sqrt{3}right)}^2}

$$\frac{ { \left(36-18 \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 } }{ { \left(81-45 \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 } }$$

Oblicz

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+2\right)}{3}\approx 2,488033872$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(36-18\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\times 3}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pomnóż 324 przez 3, aby uzyskać 972.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+972}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Dodaj 1296 i 972, aby uzyskać 2268.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\times 3}$$

Pomnóż 2025 przez 3, aby uzyskać 6075.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+6075}$$

Dodaj 6561 i 6075, aby uzyskać 12636.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 12636+7290\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{\left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}$$

Rozważ \left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{12636^{2}-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś 12636 do potęgi 2, aby uzyskać 159668496.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Rozwiń \left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś -7290 do potęgi 2, aby uzyskać 53144100.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\times 3}$$

Pomnóż 53144100 przez 3, aby uzyskać 159432300.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-159432300}$$

Odejmij 159432300 od 159668496, aby uzyskać 236196.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{236196}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2268-1296\sqrt{3} przez 12636+7290\sqrt{3} i połączyć podobne czynniki.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{236196}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\times 3}{236196}$$

Pomnóż -9447840 przez 3, aby uzyskać -28343520.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-28343520}{236196}$$

Odejmij 28343520 od 28658448, aby uzyskać 314928.

$$\frac{314928+157464\sqrt{3}}{236196}$$

Rozwiń

$$\frac{2 \sqrt{3} + 4}{3} = 2,488033871712585$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(36-18\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\times 3}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pomnóż 324 przez 3, aby uzyskać 972.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+972}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Dodaj 1296 i 972, aby uzyskać 2268.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\times 3}$$

Pomnóż 2025 przez 3, aby uzyskać 6075.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+6075}$$

Dodaj 6561 i 6075, aby uzyskać 12636.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 12636+7290\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{\left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}$$

Rozważ \left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{12636^{2}-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś 12636 do potęgi 2, aby uzyskać 159668496.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Rozwiń \left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś -7290 do potęgi 2, aby uzyskać 53144100.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\times 3}$$

Pomnóż 53144100 przez 3, aby uzyskać 159432300.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-159432300}$$

Odejmij 159432300 od 159668496, aby uzyskać 236196.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{236196}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2268-1296\sqrt{3} przez 12636+7290\sqrt{3} i połączyć podobne czynniki.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{236196}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\times 3}{236196}$$

Pomnóż -9447840 przez 3, aby uzyskać -28343520.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-28343520}{236196}$$

Odejmij 28343520 od 28658448, aby uzyskać 314928.

$$\frac{314928+157464\sqrt{3}}{236196}$$