Rozwiąż x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 21 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 7,3).

$$3x+7y=105$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 14.

$$-x+42y=364$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x+7y=105$$

Odejmij 7y od obu stron równania.

$$3x=-7y+105$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Podstaw -\frac{7y}{3}+35 do x w drugim równaniu: -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Pomnóż -1 przez -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Dodaj \frac{7y}{3} do 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Dodaj 35 do obu stron równania.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Podziel obie strony równania przez \frac{133}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=9$$

Podstaw 9 do y w równaniu x=-\frac{7}{3}y+35. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Pomnóż -\frac{7}{3} przez 9.

$$x=-21+35$$

Dodaj 35 do -21.

$$x=14$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=14,y=9$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 21 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 7,3).

$$3x+7y=105$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 14.

$$-x+42y=364$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=14,y=9$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 21 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 7,3).

$$3x+7y=105$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 14.

$$-x+42y=364$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Aby czynniki 3x i -x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Uprość.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Odejmij -3x+126y=1092 od -3x-7y=-105, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Dodaj -3x do 3x. Czynniki -3x i 3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Dodaj -7y do -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Dodaj -105 do -1092.

$$-133y=-1197$$

Podziel obie strony przez -133.

$$y=9$$

Podstaw 9 do y w równaniu -x+42y=364. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-x+42\times 9=364$$

Pomnóż 42 przez 9.

$$-x+378=364$$

Odejmij 378 od obu stron równania.

$$-x=-14$$

Podziel obie strony przez -1.

$$x=14$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=14,y=9$$