Rozwiąż x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 20 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,4).

$$4x=5y$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Podstaw \frac{5y}{4} do x w drugim równaniu: -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Dodaj -\frac{5y}{4} do y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Pomnóż obie strony przez -4.

$$y=12$$

Podstaw 12 do y w równaniu x=\frac{5}{4}y. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Pomnóż \frac{5}{4} przez 12.

$$x=15$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=15,y=12$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 20 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,4).

$$4x=5y$$

Odejmij 5y od obu stron.

$$4x-5y=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 3.

$$y=x-3$$

Odejmij x od obu stron.

$$y-x=-3$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=15,y=12$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 20 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,4).

$$4x=5y$$

Odejmij 5y od obu stron.

$$4x-5y=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 3.

$$y=x-3$$

Odejmij x od obu stron.

$$y-x=-3$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Aby czynniki 4x i -x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Uprość.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Odejmij -4x+4y=-12 od -4x+5y=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Dodaj -4x do 4x. Czynniki -4x i 4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$5y-4y=12$$

Dodaj 5y do -4y.

$$y=12$$

Podstaw 12 do y w równaniu -x+y=-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-x+12=-3$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$-x=-15$$

Podziel obie strony przez -1.

$$x=15$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=15,y=12$$