Rozwiąż v/v+1+3/v-1-6/v^2-1

$$\frac { v } { v + 1 } + \frac { 3 } { v - 1 } - \frac { 6 } { v ^ { 2 } - 1 }$$

Oblicz

$$\frac{v+3}{v+1}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości v+1 i v-1 to \left(v-1\right)\left(v+1\right). Pomnóż \frac{v}{v+1} przez \frac{v-1}{v-1}. Pomnóż \frac{3}{v-1} przez \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Ponieważ \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} i \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right).

$$\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}-v+3v+3.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Rozłóż v^{2}-1 na czynniki.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Ponieważ \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} i \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}+2v+3-6.

$$\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenia, dla których jeszcze tego nie zrobiono, w równaniu \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}.

$$\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Skróć wartość v-1 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{v+3}{v+1}$$

Różniczkuj względem v

$$-\frac{2}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Kroki z użyciem reguły różniczkowania ilorazu

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości v+1 i v-1 to \left(v-1\right)\left(v+1\right). Pomnóż \frac{v}{v+1} przez \frac{v-1}{v-1}. Pomnóż \frac{3}{v-1} przez \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Ponieważ \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} i \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}-v+3v+3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Rozłóż v^{2}-1 na czynniki.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Ponieważ \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} i \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}+2v+3-6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Rozłóż na czynniki wyrażenia, dla których jeszcze tego nie zrobiono, w równaniu \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Skróć wartość v-1 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v+3}{v+1})$$

Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji pochodna ilorazu dwóch funkcji to mianownik pomnożony przez pochodną licznika minus licznik pomnożony przez pochodną mianownika, wszystko podzielone przez kwadrat mianownika.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+3)-\left(v^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+1)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{1-1}-\left(v^{1}+3\right)v^{1-1}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{0}-\left(v^{1}+3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Rozwiń przy użyciu właściwości rozdzielności.

$$\frac{v^{1}v^{0}+v^{0}-\left(v^{1}v^{0}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, dodaj ich wykładniki.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-\left(v^{1}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Usuń zbędne nawiasy.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-v^{1}-3v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Połącz podobne czynniki.

$$\frac{\left(1-1\right)v^{1}+\left(1-3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Odejmij 1 od 1 i 3 od 1.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t oprócz 0 spełnione jest t^{0}=1.

$$\frac{-2}{\left(v+1\right)^{2}}$$