Rozwiąż f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Rozwiąż względem f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 33 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 11,33).

$$3f=g$$

Podziel obie strony przez 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Podstaw \frac{g}{3} do f w drugim równaniu: f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Dodaj \frac{g}{3} do g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Podziel obie strony równania przez \frac{4}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$g=30$$

Podstaw 30 do g w równaniu f=\frac{1}{3}g. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez 30.

$$f=10$$

System jest teraz rozwiązany.

$$f=10,g=30$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 33 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 11,33).

$$3f=g$$

Odejmij g od obu stron.

$$3f-g=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy f i g.

$$f=10,g=30$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 33 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 11,33).

$$3f=g$$

Odejmij g od obu stron.

$$3f-g=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Aby czynniki 3f i f były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Uprość.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Odejmij 3f+3g=120 od 3f-g=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Dodaj 3f do -3f. Czynniki 3f i -3f skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-g-3g=-120$$

Dodaj -g do -3g.

$$-4g=-120$$

Podziel obie strony przez -4.

$$g=30$$

Podstaw 30 do g w równaniu f+g=40. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem f.

$$f+30=40$$

Odejmij 30 od obu stron równania.

$$f=10$$

System jest teraz rozwiązany.

$$f=10,g=30$$