Rozwiąż 9x/x+1-9/x^2+x=50

$$\frac { 9 x } { x + 1 } - \frac { 9 } { x ^ { 2 } + x } = 50$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{9}{41}\approx -0,219512195$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -1,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1,x^{2}+x).

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Pomnóż x przez x, aby uzyskać x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 50x przez x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Odejmij 50x^{2} od obu stron.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Połącz x^{2}\times 9 i -50x^{2}, aby uzyskać -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Odejmij 50x od obu stron.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-41x^{2}-50x-9=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -41x^{2}+ax+bx-9. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-50 ab=-41\left(-9\right)=369$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 369.

$$-1,-369 -3,-123 -9,-41$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-369=-370 -3-123=-126 -9-41=-50$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -50.

$$a=-9 b=-41$$

Przepisz -41x^{2}-50x-9 jako \left(-41x^{2}-9x\right)+\left(-41x-9\right).

$$\left(-41x^{2}-9x\right)+\left(-41x-9\right)$$

-x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$-x\left(41x+9\right)-\left(41x+9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 41x+9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(41x+9\right)\left(-x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 41x+9=0 i -x-1=0.

$$x=-\frac{9}{41} x=-1$$

Zmienna x nie może być równa -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -1,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1,x^{2}+x).

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Pomnóż x przez x, aby uzyskać x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 50x przez x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Odejmij 50x^{2} od obu stron.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Połącz x^{2}\times 9 i -50x^{2}, aby uzyskać -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Odejmij 50x od obu stron.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-41x^{2}-50x-9=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -41 do a, -50 do b i -9 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-41\right)\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Podnieś do kwadratu -50.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-41\right)\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Pomnóż -4 przez -41.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+164\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Pomnóż 164 przez -9.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-1476}}{2\left(-41\right)}$$

Dodaj 2500 do -1476.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{1024}}{2\left(-41\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1024.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±32}{2\left(-41\right)}$$

Liczba przeciwna do -50 to 50.

$$x=\frac{50±32}{2\left(-41\right)}$$

Pomnóż 2 przez -41.

$$x=\frac{50±32}{-82}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{50±32}{-82} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 50 do 32.

$$x=\frac{82}{-82}$$

Podziel 82 przez -82.

$$x=-1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{50±32}{-82} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 32 od 50.

$$x=\frac{18}{-82}$$

Zredukuj ułamek \frac{18}{-82} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{9}{41}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-1 x=-\frac{9}{41}$$

Zmienna x nie może być równa -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -1,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1,x^{2}+x).

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Pomnóż x przez x, aby uzyskać x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 50x przez x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Odejmij 50x^{2} od obu stron.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Połącz x^{2}\times 9 i -50x^{2}, aby uzyskać -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Odejmij 50x od obu stron.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Dodaj 9 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$-41x^{2}-50x=9$$

Podziel obie strony przez -41.

$$\frac{-41x^{2}-50x}{-41}=\frac{9}{-41}$$

Dzielenie przez -41 cofa mnożenie przez -41.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{-41}\right)x=\frac{9}{-41}$$

Podziel -50 przez -41.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x=\frac{9}{-41}$$

Podziel 9 przez -41.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x=-\frac{9}{41}$$

Podziel \frac{50}{41}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{25}{41}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{25}{41} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\left(\frac{25}{41}\right)^{2}=-\frac{9}{41}+\left(\frac{25}{41}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{25}{41}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}=-\frac{9}{41}+\frac{625}{1681}$$

Dodaj -\frac{9}{41} do \frac{625}{1681}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}=\frac{256}{1681}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{41}\right)^{2}=\frac{256}{1681}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{41}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{1681}}$$

Uprość.

$$x+\frac{25}{41}=\frac{16}{41} x+\frac{25}{41}=-\frac{16}{41}$$

Odejmij \frac{25}{41} od obu stron równania.

$$x=-\frac{9}{41} x=-1$$

Zmienna x nie może być równa -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$