Rozwiąż 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -15,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 4x\left(x+15\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4x+60 przez 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez 75, aby uzyskać 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez \frac{1}{4}, aby uzyskać 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Połącz 300x i 15x, aby uzyskać 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odejmij 315x od obu stron.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Połącz 300x i -315x, aby uzyskać -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -x^{2}+ax+bx+4500. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -15.

$$a=60 b=-75$$

Przepisz -x^{2}-15x+4500 jako \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

x w pierwszej i 75 w drugiej grupie.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik -x+60, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: -x+60=0 i x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -15,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 4x\left(x+15\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4x+60 przez 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez 75, aby uzyskać 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez \frac{1}{4}, aby uzyskać 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Połącz 300x i 15x, aby uzyskać 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odejmij 315x od obu stron.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Połącz 300x i -315x, aby uzyskać -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, -15 do b i 4500 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 225 do 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Liczba przeciwna do -15 to 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{15±135}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 15 do 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Podziel 150 przez -2.

$$x=-75$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{15±135}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 135 od 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Podziel -120 przez -2.

$$x=60$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-75 x=60$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -15,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 4x\left(x+15\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4x+60 przez 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez 75, aby uzyskać 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Pomnóż 4 przez \frac{1}{4}, aby uzyskać 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Połącz 300x i 15x, aby uzyskać 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odejmij 315x od obu stron.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Połącz 300x i -315x, aby uzyskać -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Odejmij 4500 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Podziel -15 przez -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Podziel -4500 przez -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Podziel 15, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{15}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{15}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{15}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Dodaj 4500 do \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Współczynnik x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Odejmij \frac{15}{2} od obu stron równania.

$$x=60 x=-75$$