Rozwiąż 7/x-3+1=18/x^2-6x+9

$$\frac { 7 } { x - 3 } + 1 = \frac { 18 } { x ^ { 2 } - 6 x + 9 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Zmienna x nie może być równa 3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x-3,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)\times 7+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-3 przez 7.

$$7x-21+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$7x-21+x^{2}-6x+9=18$$

Połącz 7x i -6x, aby uzyskać x.

$$x-21+x^{2}+9=18$$

Dodaj -21 i 9, aby uzyskać -12.

$$x-12+x^{2}=18$$

Odejmij 18 od obu stron.

$$x-12+x^{2}-18=0$$

Odejmij 18 od -12, aby uzyskać -30.

$$x-30+x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{2}+x-30=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}+x-30 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-5 b=6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa 3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x-3,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)\times 7+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-3 przez 7.

$$7x-21+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$7x-21+x^{2}-6x+9=18$$

Połącz 7x i -6x, aby uzyskać x.

$$x-21+x^{2}+9=18$$

Dodaj -21 i 9, aby uzyskać -12.

$$x-12+x^{2}=18$$

Odejmij 18 od obu stron.

$$x-12+x^{2}-18=0$$

Odejmij 18 od -12, aby uzyskać -30.

$$x-30+x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{2}+x-30=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-30. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-5 b=6$$

Przepisz x^{2}+x-30 jako \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

x w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa 3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x-3,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)\times 7+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-3 przez 7.

$$7x-21+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$7x-21+x^{2}-6x+9=18$$

Połącz 7x i -6x, aby uzyskać x.

$$x-21+x^{2}+9=18$$

Dodaj -21 i 9, aby uzyskać -12.

$$x-12+x^{2}=18$$

Odejmij 18 od obu stron.

$$x-12+x^{2}-18=0$$

Odejmij 18 od -12, aby uzyskać -30.

$$x-30+x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}+x-30=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, 1 do b i -30 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -30.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2}$$

Dodaj 1 do 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 121.

$$x=\frac{-1±11}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±11}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Podziel 10 przez 2.

$$x=5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±11}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 11 od -1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Podziel -12 przez 2.

$$x=-6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=5 x=-6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa 3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x-3,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)\times 7+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-3 przez 7.

$$7x-21+\left(x-3\right)^{2}=18$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$7x-21+x^{2}-6x+9=18$$

Połącz 7x i -6x, aby uzyskać x.

$$x-21+x^{2}+9=18$$

Dodaj -21 i 9, aby uzyskać -12.

$$x-12+x^{2}=18$$

Dodaj 12 do obu stron.

$$x+x^{2}=18+12$$

Dodaj 18 i 12, aby uzyskać 30.

$$x+x^{2}=30$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x=30$$

Podziel 1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Dodaj 30 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Współczynnik x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=5 x=-6$$