Rozwiąż frac{6-sqrt{20}}{6+sqrt{20}}

$$\frac { 6 - \sqrt { 20 } } { 6 + \sqrt { 20 } }$$

Oblicz

$$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż 20=2^{2}\times 5 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{2^{2}\times 5} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2^{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+\sqrt{20}}$$

Rozłóż 20=2^{2}\times 5 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{2^{2}\times 5} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2^{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 6-2\sqrt{5}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{\left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}$$

Rozważ \left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Pomnóż 6-2\sqrt{5} przez 6-2\sqrt{5}, aby uzyskać \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\times 5}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Pomnóż 4 przez 5, aby uzyskać 20.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+20}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Dodaj 36 i 20, aby uzyskać 56.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Podnieś 6 do potęgi 2, aby uzyskać 36.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\times 5}$$

Pomnóż 4 przez 5, aby uzyskać 20.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-20}$$

Odejmij 20 od 36, aby uzyskać 16.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{16}$$