Rozwiąż frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Rozwiąż względem k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Pomnóż obie strony równania przez 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(3k^{2}+1\right)^{2},4).

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 6 przez k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 9k^{4}-6k^{2}+1, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Połącz 6k^{4} i -9k^{4}, aby uzyskać -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Połącz 12k^{2} i 6k^{2}, aby uzyskać 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Odejmij 1 od 6, aby uzyskać 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 5 przez 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Odejmij 45k^{4} od obu stron.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Połącz -12k^{4} i -45k^{4}, aby uzyskać -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Odejmij 30k^{2} od obu stron.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Połącz 72k^{2} i -30k^{2}, aby uzyskać 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Odejmij 5 od obu stron.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Odejmij 5 od 20, aby uzyskać 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Podstaw t dla k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw -57 do a, 42 do b i 15 do c w formule kwadratowej.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Umożliwia rozwiązanie równania t=\frac{-42±72}{-114}, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Ponieważ k=t^{2}, rozwiązania są uzyskiwane przez ocenę k=±\sqrt{t} pozytywnej t.

$$k=1 k=-1$$

Rozwiąż względem k (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$