Rozwiąż frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Oblicz

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż 27=3^{2}\times 3 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{3^{2}\times 3} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Rozważ \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś do kwadratu 4. Podnieś do kwadratu \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Odejmij 3 od 16, aby uzyskać 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 6+3\sqrt{3} przez każdy czynnik wartości 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Połącz 6\sqrt{3} i 12\sqrt{3}, aby uzyskać 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Pomnóż 3 przez 3, aby uzyskać 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Dodaj 24 i 9, aby uzyskać 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$