Rozwiąż 4x+23/x^2+6x+9-3x+20/x^2-9-x+33/x^2-6x+9=0

$$\frac { 4 x + 23 } { x ^ { 2 } + 6 x + 9 } - \frac { 3 x + 20 } { x ^ { 2 } - 9 } - \frac { x + 33 } { x ^ { 2 } - 6 x + 9 } = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{3}{10}=0,3$$

$$x=-5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -3,3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x^{2}+6x+9,x^{2}-9,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)^{2}\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-6x+9\right)\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-6x+9 przez 4x+23 i połączyć podobne czynniki.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-9 przez 3x+20.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(3x^{3}+20x^{2}-27x-180\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 3x^{3}+20x^{2}-27x-180, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-3x^{3}-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz 4x^{3} i -3x^{3}, aby uzyskać x^{3}.

$$x^{3}-x^{2}-102x+207-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -x^{2} i -20x^{2}, aby uzyskać -21x^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-102x+207+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -102x i 27x, aby uzyskać -75x.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+207+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Dodaj 207 i 180, aby uzyskać 387.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{2}+6x+9\right)\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}+6x+9 przez x+33 i połączyć podobne czynniki.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{3}+39x^{2}+207x+297\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{3}+39x^{2}+207x+297, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-x^{3}-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz x^{3} i -x^{3}, aby uzyskać 0.

$$-21x^{2}-75x+387-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz -21x^{2} i -39x^{2}, aby uzyskać -60x^{2}.

$$-60x^{2}-75x+387-207x-297=0$$

Połącz -75x i -207x, aby uzyskać -282x.

$$-60x^{2}-282x+387-297=0$$

Odejmij 297 od 387, aby uzyskać 90.

$$-60x^{2}-282x+90=0$$

Podziel obie strony przez 6.

$$-10x^{2}-47x+15=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -10x^{2}+ax+bx+15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-47 ab=-10\times 15=-150$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -47.

$$a=3 b=-50$$

Przepisz -10x^{2}-47x+15 jako \left(-10x^{2}+3x\right)+\left(-50x+15\right).

$$\left(-10x^{2}+3x\right)+\left(-50x+15\right)$$

-x w pierwszej i -5 w drugiej grupie.

$$-x\left(10x-3\right)-5\left(10x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 10x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(10x-3\right)\left(-x-5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 10x-3=0 i -x-5=0.

$$x=\frac{3}{10} x=-5$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -3,3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x^{2}+6x+9,x^{2}-9,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)^{2}\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-6x+9\right)\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-6x+9 przez 4x+23 i połączyć podobne czynniki.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-9 przez 3x+20.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(3x^{3}+20x^{2}-27x-180\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 3x^{3}+20x^{2}-27x-180, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-3x^{3}-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz 4x^{3} i -3x^{3}, aby uzyskać x^{3}.

$$x^{3}-x^{2}-102x+207-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -x^{2} i -20x^{2}, aby uzyskać -21x^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-102x+207+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -102x i 27x, aby uzyskać -75x.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+207+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Dodaj 207 i 180, aby uzyskać 387.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{2}+6x+9\right)\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}+6x+9 przez x+33 i połączyć podobne czynniki.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{3}+39x^{2}+207x+297\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{3}+39x^{2}+207x+297, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-x^{3}-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz x^{3} i -x^{3}, aby uzyskać 0.

$$-21x^{2}-75x+387-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz -21x^{2} i -39x^{2}, aby uzyskać -60x^{2}.

$$-60x^{2}-75x+387-207x-297=0$$

Połącz -75x i -207x, aby uzyskać -282x.

$$-60x^{2}-282x+387-297=0$$

Odejmij 297 od 387, aby uzyskać 90.

$$-60x^{2}-282x+90=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -60 do a, -282 do b i 90 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±\sqrt{\left(-282\right)^{2}-4\left(-60\right)\times 90}}{2\left(-60\right)}$$

Podnieś do kwadratu -282.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±\sqrt{79524-4\left(-60\right)\times 90}}{2\left(-60\right)}$$

Pomnóż -4 przez -60.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±\sqrt{79524+240\times 90}}{2\left(-60\right)}$$

Pomnóż 240 przez 90.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±\sqrt{79524+21600}}{2\left(-60\right)}$$

Dodaj 79524 do 21600.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±\sqrt{101124}}{2\left(-60\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 101124.

$$x=\frac{-\left(-282\right)±318}{2\left(-60\right)}$$

Liczba przeciwna do -282 to 282.

$$x=\frac{282±318}{2\left(-60\right)}$$

Pomnóż 2 przez -60.

$$x=\frac{282±318}{-120}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{282±318}{-120} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 282 do 318.

$$x=\frac{600}{-120}$$

Podziel 600 przez -120.

$$x=-5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{282±318}{-120} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 318 od 282.

$$x=-\frac{36}{-120}$$

Zredukuj ułamek \frac{-36}{-120} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$x=\frac{3}{10}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-5 x=\frac{3}{10}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -3,3, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2} (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x^{2}+6x+9,x^{2}-9,x^{2}-6x+9).

$$\left(x-3\right)^{2}\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-6x+9\right)\left(4x+23\right)-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-6x+9 przez 4x+23 i połączyć podobne czynniki.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(x^{2}-9\right)\left(3x+20\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-9 przez 3x+20.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-\left(3x^{3}+20x^{2}-27x-180\right)-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 3x^{3}+20x^{2}-27x-180, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{3}-x^{2}-102x+207-3x^{3}-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz 4x^{3} i -3x^{3}, aby uzyskać x^{3}.

$$x^{3}-x^{2}-102x+207-20x^{2}+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -x^{2} i -20x^{2}, aby uzyskać -21x^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-102x+207+27x+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Połącz -102x i 27x, aby uzyskać -75x.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+207+180-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Dodaj 207 i 180, aby uzyskać 387.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x+3\right)^{2}\left(x+33\right)=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{2}+6x+9\right)\left(x+33\right)=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}+6x+9 przez x+33 i połączyć podobne czynniki.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-\left(x^{3}+39x^{2}+207x+297\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{3}+39x^{2}+207x+297, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x^{3}-21x^{2}-75x+387-x^{3}-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz x^{3} i -x^{3}, aby uzyskać 0.

$$-21x^{2}-75x+387-39x^{2}-207x-297=0$$

Połącz -21x^{2} i -39x^{2}, aby uzyskać -60x^{2}.

$$-60x^{2}-75x+387-207x-297=0$$

Połącz -75x i -207x, aby uzyskać -282x.

$$-60x^{2}-282x+387-297=0$$

Odejmij 297 od 387, aby uzyskać 90.

$$-60x^{2}-282x+90=0$$

Odejmij 90 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$-60x^{2}-282x=-90$$

Podziel obie strony przez -60.

$$\frac{-60x^{2}-282x}{-60}=-\frac{90}{-60}$$

Dzielenie przez -60 cofa mnożenie przez -60.

$$x^{2}+\left(-\frac{282}{-60}\right)x=-\frac{90}{-60}$$

Zredukuj ułamek \frac{-282}{-60} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x^{2}+\frac{47}{10}x=-\frac{90}{-60}$$

Zredukuj ułamek \frac{-90}{-60} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 30.

$$x^{2}+\frac{47}{10}x=\frac{3}{2}$$

Podziel \frac{47}{10}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{47}{20}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{47}{20} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{47}{10}x+\left(\frac{47}{20}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{47}{20}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{47}{20}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{47}{10}x+\frac{2209}{400}=\frac{3}{2}+\frac{2209}{400}$$

Dodaj \frac{3}{2} do \frac{2209}{400}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{47}{10}x+\frac{2209}{400}=\frac{2809}{400}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{47}{10}x+\frac{2209}{400}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{47}{20}\right)^{2}=\frac{2809}{400}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{47}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{400}}$$

Uprość.

$$x+\frac{47}{20}=\frac{53}{20} x+\frac{47}{20}=-\frac{53}{20}$$

Odejmij \frac{47}{20} od obu stron równania.

$$x=\frac{3}{10} x=-5$$