Rozwiąż 3/x+2/x-1=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Rozwiąż względem x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości 0,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x-1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-1 przez 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Połącz 3x i x\times 2, aby uzyskać 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x przez x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Odejmij 2x^{2} od obu stron.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Dodaj 2x do obu stron.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Połącz 5x i 2x, aby uzyskać 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -2x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 6.

$$1,6 2,3$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+6=7 2+3=5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=6 b=1$$

Przepisz -2x^{2}+7x-3 jako \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias 2x w pierwszej grupie i -1 w drugiej grupie.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik -x+3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: -x+3=0 i 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości 0,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x-1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-1 przez 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Połącz 3x i x\times 2, aby uzyskać 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x przez x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Odejmij 2x^{2} od obu stron.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Dodaj 2x do obu stron.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Połącz 5x i 2x, aby uzyskać 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -2 do a, 7 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Pomnóż -4 przez -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Pomnóż 8 przez -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Dodaj 49 do -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Pomnóż 2 przez -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±5}{-4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-2}{-4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±5}{-4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 5 od -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Podziel -12 przez -4.

$$x=3$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości 0,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x-1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-1 przez 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Połącz 3x i x\times 2, aby uzyskać 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x przez x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Odejmij 2x^{2} od obu stron.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Dodaj 2x do obu stron.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Połącz 5x i 2x, aby uzyskać 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$7x-2x^{2}=3$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Podziel obie strony przez -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Dzielenie przez -2 cofa mnożenie przez -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Podziel 7 przez -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Podziel 3 przez -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Podziel -\frac{7}{2}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{7}{4}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{7}{4} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Dodaj -\frac{3}{2} do \frac{49}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Uprość.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Dodaj \frac{7}{4} do obu stron równania.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$