Rozwiąż 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Oblicz

$$\frac{1}{r-1}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Rozłóż r^{2}-1 na czynniki.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(r-1\right)\left(r+1\right) i r+1 to \left(r-1\right)\left(r+1\right). Pomnóż \frac{1}{r+1} przez \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Ponieważ \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} i \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Skróć wartość r+1 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{1}{r-1}$$

Różniczkuj względem r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Kroki z użyciem reguły łańcuchowej

Rozłóż r^{2}-1 na czynniki.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(r-1\right)\left(r+1\right) i r+1 to \left(r-1\right)\left(r+1\right). Pomnóż \frac{1}{r+1} przez \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Ponieważ \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} i \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Skróć wartość r+1 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Jeśli F jest złożeniem dwóch różniczkowalnych funkcji f\left(u\right) i u=g\left(x\right) (tj. F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)), to pochodna F jest pochodną f względem u pomnożoną przez pochodną g względem x (tj. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Uprość.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Dla dowolnego czynnika t oprócz 0 spełnione jest t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$