Rozwiąż frac{2sqrt{5}+5}{2sqrt{5}-5}

$$\frac { 2 \sqrt { 5 } + 5 } { 2 \sqrt { 5 } - 5 }$$

Oblicz

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2\sqrt{5}+5}{2\sqrt{5}-5} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2\sqrt{5}+5.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}$$

Rozważ \left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Pomnóż 2\sqrt{5}+5 przez 2\sqrt{5}+5, aby uzyskać \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}.

$$\frac{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{4\times 5+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Pomnóż 4 przez 5, aby uzyskać 20.

$$\frac{20+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Dodaj 20 i 25, aby uzyskać 45.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\times 5-5^{2}}$$

Pomnóż 4 przez 5, aby uzyskać 20.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-5^{2}}$$

Podnieś 5 do potęgi 2, aby uzyskać 25.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-25}$$

Odejmij 25 od 20, aby uzyskać -5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{-5}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 45+20\sqrt{5} przez -5, aby uzyskać -9-4\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}$$

Rozłóż na czynniki

$$-\left(4\sqrt{5}+9\right)$$