Rozwiąż frac{2sqrt{2}-3sqrt{7}}{2sqrt{2}+3sqrt{7}}=a+bsqrt{2}

$$\frac { 2 \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } } { 2 \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 7 } } = a + b \sqrt { 2 }$$

Rozwiąż względem b

$$b=-\frac{\sqrt{2}\left(55a+71-12\sqrt{14}\right)}{110}$$

Kroki dla rozwiązywania równania liniowego

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{7}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2\sqrt{2}-3\sqrt{7}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{\left(2\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}=a+b\sqrt{2}$$

Rozważ \left(2\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż 2\sqrt{2}-3\sqrt{7} przez 2\sqrt{2}-3\sqrt{7}, aby uzyskać \left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{4\times 2-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż 4 przez 2, aby uzyskać 8.

$$\frac{8-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Aby pomnożyć \sqrt{2} i \sqrt{7}, pomnóż liczby w polu pierwiastek kwadratowy.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{7} to 7.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+9\times 7}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż 9 przez 7, aby uzyskać 63.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+63}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Dodaj 8 i 63, aby uzyskać 71.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{4\times 2-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż 4 przez 2, aby uzyskać 8.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Rozwiń \left(3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-3^{2}\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Podnieś 3 do potęgi 2, aby uzyskać 9.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{7} to 7.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-9\times 7}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż 9 przez 7, aby uzyskać 63.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-63}=a+b\sqrt{2}$$

Odejmij 63 od 8, aby uzyskać -55.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{-55}=a+b\sqrt{2}$$

Pomnóż licznik i mianownik przez -1.

$$\frac{-71+12\sqrt{14}}{55}=a+b\sqrt{2}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia -71+12\sqrt{14} przez 55, aby uzyskać -\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}.

$$-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}=a+b\sqrt{2}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$a+b\sqrt{2}=-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}$$

Odejmij a od obu stron.

$$b\sqrt{2}=-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}-a$$

Równanie jest w postaci standardowej.

$$\sqrt{2}b=-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}$$

Podziel obie strony przez \sqrt{2}.

$$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{2}}=\frac{-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}}{\sqrt{2}}$$

Dzielenie przez \sqrt{2} cofa mnożenie przez \sqrt{2}.

$$b=\frac{-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}}{\sqrt{2}}$$

Podziel -\frac{71}{55}+\frac{12\sqrt{14}}{55}-a przez \sqrt{2}.

$$b=\frac{\sqrt{2}\left(-55a+12\sqrt{14}-71\right)}{110}$$

Rozwiąż względem a

$$a=-\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(-3\sqrt{14}b-4b+2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{55}$$