Rozwiąż frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Oblicz

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Rozważ \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Podnieś do kwadratu 2. Podnieś do kwadratu \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Odejmij 5 od 4, aby uzyskać -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Pomnóż 2+\sqrt{5} przez 2+\sqrt{5}, aby uzyskać \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Dodaj 4 i 5, aby uzyskać 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Każda wartość podzielona przez -1 daje jej przeciwieństwo. Aby znaleźć wartość przeciwną do 9+4\sqrt{5}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$-9-4\sqrt{5}$$