Rozwiąż 12/w^2-22w-23-11/w^2-24w+23

$$\frac { 12 } { w ^ { 2 } - 22 w - 23 } - \frac { 11 } { w ^ { 2 } - 24 w + 23 }$$

Oblicz

$$\frac{1}{w^{2}-1}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Rozłóż w^{2}-22w-23 na czynniki. Rozłóż w^{2}-24w+23 na czynniki.

$$\frac{12}{\left(w-23\right)\left(w+1\right)}-\frac{11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)}$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(w-23\right)\left(w+1\right) i \left(w-23\right)\left(w-1\right) to \left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right). Pomnóż \frac{12}{\left(w-23\right)\left(w+1\right)} przez \frac{w-1}{w-1}. Pomnóż \frac{11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)} przez \frac{w+1}{w+1}.

$$\frac{12\left(w-1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}-\frac{11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}$$

Ponieważ \frac{12\left(w-1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)} i \frac{11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{12\left(w-1\right)-11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 12\left(w-1\right)-11\left(w+1\right).

$$\frac{12w-12-11w-11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 12w-12-11w-11.

$$\frac{w-23}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}$$

Skróć wartość w-23 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{1}{\left(w-1\right)\left(w+1\right)}$$

Rozwiń \left(w-1\right)\left(w+1\right).

$$\frac{1}{w^{2}-1}$$

Różniczkuj względem w

$$-\frac{2w}{\left(w^{2}-1\right)^{2}}$$

Kroki z użyciem reguły łańcuchowej

Rozłóż w^{2}-22w-23 na czynniki. Rozłóż w^{2}-24w+23 na czynniki.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{12}{\left(w-23\right)\left(w+1\right)}-\frac{11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)})$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(w-23\right)\left(w+1\right) i \left(w-23\right)\left(w-1\right) to \left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right). Pomnóż \frac{12}{\left(w-23\right)\left(w+1\right)} przez \frac{w-1}{w-1}. Pomnóż \frac{11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)} przez \frac{w+1}{w+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{12\left(w-1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)}-\frac{11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)})$$

Ponieważ \frac{12\left(w-1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)} i \frac{11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{12\left(w-1\right)-11\left(w+1\right)}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 12\left(w-1\right)-11\left(w+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{12w-12-11w-11}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 12w-12-11w-11.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{w-23}{\left(w-23\right)\left(w-1\right)\left(w+1\right)})$$

Skróć wartość w-23 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{1}{\left(w-1\right)\left(w+1\right)})$$

Rozważ \left(w-1\right)\left(w+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Podnieś do kwadratu 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{1}{w^{2}-1})$$

Jeśli F jest złożeniem dwóch różniczkowalnych funkcji f\left(u\right) i u=g\left(x\right) (tj. F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)), to pochodna F jest pochodną f względem u pomnożoną przez pochodną g względem x (tj. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)).

$$-\left(w^{2}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(w^{2}-1)$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$-\left(w^{2}-1\right)^{-2}\times 2w^{2-1}$$

Uprość.

$$-2w^{1}\left(w^{2}-1\right)^{-2}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$-2w\left(w^{2}-1\right)^{-2}$$