Rozwiąż 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=-1$$

Kroki rozwiązania

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -8,-5,-2,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21).

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21 przez x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21x+105 przez x+8 i połączyć podobne czynniki.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21 przez x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21x-21 przez x+8 i połączyć podobne czynniki.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Połącz 21x^{2} i 21x^{2}, aby uzyskać 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Połącz 273x i 147x, aby uzyskać 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odejmij 168 od 840, aby uzyskać 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21 przez x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 21x+42 przez x-1 i połączyć podobne czynniki.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Połącz 42x^{2} i 21x^{2}, aby uzyskać 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Połącz 420x i 21x, aby uzyskać 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odejmij 42 od 672, aby uzyskać 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 7 przez x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 7x+14 przez x+5 i połączyć podobne czynniki.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 7x^{2}+49x+70 przez x+8 i połączyć podobne czynniki.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Pomnóż 21 przez -\frac{1}{21}, aby uzyskać -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -1 przez x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -x+1 przez x+2 i połączyć podobne czynniki.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -x^{2}-x+2 przez x+5 i połączyć podobne czynniki.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -x^{3}-6x^{2}-3x+10 przez x+8 i połączyć podobne czynniki.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Połącz 7x^{3} i -14x^{3}, aby uzyskać -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Połącz 105x^{2} i -51x^{2}, aby uzyskać 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Połącz 462x i -14x, aby uzyskać 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Dodaj 560 i 80, aby uzyskać 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Dodaj 7x^{3} do obu stron.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Odejmij 54x^{2} od obu stron.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Połącz 63x^{2} i -54x^{2}, aby uzyskać 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Odejmij 448x od obu stron.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Połącz 441x i -448x, aby uzyskać -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Odejmij 640 od obu stron.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Odejmij 640 od 630, aby uzyskać -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Dodaj x^{4} do obu stron.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Zmień postać równania, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -10, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 przez x-1, aby uzyskać x^{3}+8x^{2}+17x+10. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 10, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{3}+8x^{2}+17x+10 przez x+1, aby uzyskać x^{2}+7x+10. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 7 do b i 10 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Umożliwia rozwiązanie równania x^{2}+7x+10=0, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=-5 x=-2$$

Usuń wartości, którym zmienna nie może być równa.

$$x=-1$$

Wyświetl listę wszystkich znalezionych rozwiązań.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości 1,-5,-2.

$$x=-1$$