Rozwiąż 1/n^2+11n+30=1/n+5-4

$$\frac { 1 } { n ^ { 2 } + 11 n + 30 } = \frac { 1 } { n + 5 } - 4$$

Rozwiąż względem n

$$n = -\frac{23}{4} = -5\frac{3}{4} = -5,75$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna n nie może być równa żadnej z wartości -6,-5, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(n+5\right)\left(n+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości n^{2}+11n+30,n+5).

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n+5 przez n+6 i połączyć podobne czynniki.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n^{2}+11n+30 przez -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Połącz n i -44n, aby uzyskać -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Odejmij 120 od 6, aby uzyskać -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

Odejmij 1 od -114, aby uzyskać -115.

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -4n^{2}+an+bn-115. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-43 ab=-4\left(-115\right)=460$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 460.

$$-1,-460 -2,-230 -4,-115 -5,-92 -10,-46 -20,-23$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-460=-461 -2-230=-232 -4-115=-119 -5-92=-97 -10-46=-56 -20-23=-43$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -43.

$$a=-20 b=-23$$

Przepisz -4n^{2}-43n-115 jako \left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right).

$$\left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right)$$

4n w pierwszej i 23 w drugiej grupie.

$$4n\left(-n-5\right)+23\left(-n-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik -n-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(-n-5\right)\left(4n+23\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: -n-5=0 i 4n+23=0.

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

Zmienna n nie może być równa -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna n nie może być równa żadnej z wartości -6,-5, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(n+5\right)\left(n+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości n^{2}+11n+30,n+5).

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n+5 przez n+6 i połączyć podobne czynniki.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n^{2}+11n+30 przez -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Połącz n i -44n, aby uzyskać -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Odejmij 120 od 6, aby uzyskać -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

Odejmij 1 od -114, aby uzyskać -115.

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -4 do a, -43 do b i -115 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Podnieś do kwadratu -43.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż -4 przez -4.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+16\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż 16 przez -115.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-1840}}{2\left(-4\right)}$$

Dodaj 1849 do -1840.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{9}}{2\left(-4\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 9.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±3}{2\left(-4\right)}$$

Liczba przeciwna do -43 to 43.

$$n=\frac{43±3}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż 2 przez -4.

$$n=\frac{43±3}{-8}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{43±3}{-8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 43 do 3.

$$n=\frac{46}{-8}$$

Zredukuj ułamek \frac{46}{-8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{43±3}{-8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 3 od 43.

$$n=\frac{40}{-8}$$

Podziel 40 przez -8.

$$n=-5$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=-\frac{23}{4} n=-5$$

Zmienna n nie może być równa -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna n nie może być równa żadnej z wartości -6,-5, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(n+5\right)\left(n+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości n^{2}+11n+30,n+5).

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n+5 przez n+6 i połączyć podobne czynniki.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n^{2}+11n+30 przez -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Połącz n i -44n, aby uzyskać -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Odejmij 120 od 6, aby uzyskać -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Dodaj 114 do obu stron.

$$-43n-4n^{2}=1+114$$

Dodaj 1 i 114, aby uzyskać 115.

$$-43n-4n^{2}=115$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-4n^{2}-43n=115$$

Podziel obie strony przez -4.

$$\frac{-4n^{2}-43n}{-4}=\frac{115}{-4}$$

Dzielenie przez -4 cofa mnożenie przez -4.

$$n^{2}+\left(-\frac{43}{-4}\right)n=\frac{115}{-4}$$

Podziel -43 przez -4.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=\frac{115}{-4}$$

Podziel 115 przez -4.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=-\frac{115}{4}$$

Podziel \frac{43}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{43}{8}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{43}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}=-\frac{115}{4}+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{43}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=-\frac{115}{4}+\frac{1849}{64}$$

Dodaj -\frac{115}{4} do \frac{1849}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=\frac{9}{64}$$

Współczynnik n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Uprość.

$$n+\frac{43}{8}=\frac{3}{8} n+\frac{43}{8}=-\frac{3}{8}$$

Odejmij \frac{43}{8} od obu stron równania.

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

Zmienna n nie może być równa -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$