Rozwiąż frac{sqrt{2}+isqrt{2}}{1+isqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 2 } + i \sqrt { 2 } } { 1 + i \sqrt { 3 } }$$

Oblicz

$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)+\sqrt{6}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\right)\approx 0,965925826-0,258819045i$$

Kroki rozwiązania

Połącz \sqrt{2} i i\sqrt{2}, aby uzyskać \left(1+i\right)\sqrt{2}.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}} przez mnożenie licznika i mianownika przez 1-i\sqrt{3}.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right)}$$

Rozważ \left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś 1 do potęgi 2, aby uzyskać 1.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Rozwiń \left(i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1-i^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Podnieś i do potęgi 2, aby uzyskać -1.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-3\right)}$$

Pomnóż -1 przez -3, aby uzyskać 3.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1+3}$$

Dodaj 1 i 3, aby uzyskać 4.

$$\frac{\left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{4}$$

Podziel \left(1+i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right) przez 4, aby uzyskać \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right).

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)\sqrt{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)\sqrt{2} przez 1-i\sqrt{3}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)\sqrt{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\right)\sqrt{3}\sqrt{2}$$

Aby pomnożyć \sqrt{3} i \sqrt{2}, pomnóż liczby w polu pierwiastek kwadratowy.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)\sqrt{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\right)\sqrt{6}$$

Część rzeczywista

$$\frac{\sqrt{2} {(\sqrt{3} + 1)}}{4} = 0,9659258262890683$$