Rozwiąż frac{sqrt{12}+sqrt{6}+sqrt{2}+2}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 12 } + \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } + 2 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Oblicz

$$\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż 12=2^{2}\times 3 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{2^{2}\times 3} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2^{2}.

$$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Rozważ \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Podnieś do kwadratu \sqrt{3}. Podnieś do kwadratu 1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Odejmij 1 od 3, aby uzyskać 2.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2 przez każdy czynnik wartości \sqrt{3}-1.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{2\times 3-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Pomnóż 2 przez 3, aby uzyskać 6.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Rozłóż 6=3\times 2 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{3\times 2} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Pomnóż \sqrt{3} przez \sqrt{3}, aby uzyskać 3.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Aby pomnożyć \sqrt{2} i \sqrt{3}, pomnóż liczby w polu pierwiastek kwadratowy.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Połącz -\sqrt{6} i \sqrt{6}, aby uzyskać 0.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Połącz 3\sqrt{2} i -\sqrt{2}, aby uzyskać 2\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Połącz -2\sqrt{3} i 2\sqrt{3}, aby uzyskać 0.

$$\frac{6+2\sqrt{2}-2}{2}$$

Odejmij 2 od 6, aby uzyskać 4.

$$\frac{4+2\sqrt{2}}{2}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 4+2\sqrt{2} przez 2, aby uzyskać 2+\sqrt{2}.

$$2+\sqrt{2}$$