Rozwiąż 1/a+1/a-1{a+frac{1/a}}

$$\frac { \frac { 1 } { a + 1 } } { a - \frac { 1 } { a + \frac { 1 } { a } } }$$

Oblicz

$$\frac{a^{2}+1}{\left(a+1\right)a^{3}}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż a przez \frac{a}{a}.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{aa}{a}+\frac{1}{a}}}$$

Ponieważ \frac{aa}{a} i \frac{1}{a} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{aa+1}{a}}}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu aa+1.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{a^{2}+1}{a}}}$$

Podziel 1 przez \frac{a^{2}+1}{a}, mnożąc 1 przez odwrotność \frac{a^{2}+1}{a}.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{a}{a^{2}+1}}$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż a przez \frac{a^{2}+1}{a^{2}+1}.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a\left(a^{2}+1\right)}{a^{2}+1}-\frac{a}{a^{2}+1}}$$

Ponieważ \frac{a\left(a^{2}+1\right)}{a^{2}+1} i \frac{a}{a^{2}+1} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a\left(a^{2}+1\right)-a}{a^{2}+1}}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu a\left(a^{2}+1\right)-a.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a^{3}+a-a}{a^{2}+1}}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu a^{3}+a-a.

$$\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a^{3}}{a^{2}+1}}$$

Podziel \frac{1}{a+1} przez \frac{a^{3}}{a^{2}+1}, mnożąc \frac{1}{a+1} przez odwrotność \frac{a^{3}}{a^{2}+1}.

$$\frac{a^{2}+1}{\left(a+1\right)a^{3}}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć a+1 przez a^{3}.

$$\frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{3}}$$

Różniczkuj względem a

$$-\frac{2a^{3}+a^{2}+4a+3}{\left(a+1\right)^{2}a^{4}}$$

Kroki z użyciem reguły różniczkowania ilorazu

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż a przez \frac{a}{a}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{aa}{a}+\frac{1}{a}}})$$

Ponieważ \frac{aa}{a} i \frac{1}{a} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{aa+1}{a}}})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu aa+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{1}{\frac{a^{2}+1}{a}}})$$

Podziel 1 przez \frac{a^{2}+1}{a}, mnożąc 1 przez odwrotność \frac{a^{2}+1}{a}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{a-\frac{a}{a^{2}+1}})$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż a przez \frac{a^{2}+1}{a^{2}+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a\left(a^{2}+1\right)}{a^{2}+1}-\frac{a}{a^{2}+1}})$$

Ponieważ \frac{a\left(a^{2}+1\right)}{a^{2}+1} i \frac{a}{a^{2}+1} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a\left(a^{2}+1\right)-a}{a^{2}+1}})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu a\left(a^{2}+1\right)-a.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a^{3}+a-a}{a^{2}+1}})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu a^{3}+a-a.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{a^{3}}{a^{2}+1}})$$

Podziel \frac{1}{a+1} przez \frac{a^{3}}{a^{2}+1}, mnożąc \frac{1}{a+1} przez odwrotność \frac{a^{3}}{a^{2}+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{2}+1}{\left(a+1\right)a^{3}})$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć a+1 przez a^{3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{3}})$$

Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji pochodna ilorazu dwóch funkcji to mianownik pomnożony przez pochodną licznika minus licznik pomnożony przez pochodną mianownika, wszystko podzielone przez kwadrat mianownika.

$$\frac{\left(a^{4}+a^{3}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(a^{2}+1)-\left(a^{2}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(a^{4}+a^{3})}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$\frac{\left(a^{4}+a^{3}\right)\times 2a^{2-1}-\left(a^{2}+1\right)\left(4a^{4-1}+3a^{3-1}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Uprość.

$$\frac{\left(a^{4}+a^{3}\right)\times 2a^{1}-\left(a^{2}+1\right)\left(4a^{3}+3a^{2}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Pomnóż a^{4}+a^{3} przez 2a^{1}.

$$\frac{a^{4}\times 2a^{1}+a^{3}\times 2a^{1}-\left(a^{2}+1\right)\left(4a^{3}+3a^{2}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Pomnóż a^{2}+1 przez 4a^{3}+3a^{2}.

$$\frac{a^{4}\times 2a^{1}+a^{3}\times 2a^{1}-\left(a^{2}\times 4a^{3}+a^{2}\times 3a^{2}+4a^{3}+3a^{2}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, dodaj ich wykładniki.

$$\frac{2a^{4+1}+2a^{3+1}-\left(4a^{2+3}+3a^{2+2}+4a^{3}+3a^{2}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Uprość.

$$\frac{2a^{5}+2a^{4}-\left(4a^{5}+3a^{4}+4a^{3}+3a^{2}\right)}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$

Połącz podobne czynniki.

$$\frac{-2a^{5}-a^{4}-4a^{3}-3a^{2}}{\left(a^{4}+a^{3}\right)^{2}}$$