Rozwiąż cosbeta

$$\cos \beta$$

Różniczkuj względem β

$$-\sin(\beta )$$

Kroki z użyciem definicji pochodnej

Dla funkcji f\left(x\right) pochodna jest granicą funkcji \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, gdy h dąży do 0, jeśli ta granica istnieje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta }(\cos(\beta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\beta +h)-\cos(\beta )}{h}\right)$$

Użyj formuły sumy dla cosinusa.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\beta )-\cos(\beta )}{h}$$

Wyłącz przed nawias \cos(\beta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\beta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\beta )\sin(h)}{h}$$

Przepisz granicę.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\beta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\beta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Skorzystaj z faktu, że \beta jest wartością stałą przy obliczaniu granic, gdy h dąży do 0.

$$\cos(\beta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\beta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Granicą \lim_{\beta \to 0}\frac{\sin(\beta )}{\beta } jest 1.

$$\cos(\beta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\beta )$$

Aby obliczyć granicę \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, najpierw pomnóż licznik i mianownik przez \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Pomnóż \cos(h)+1 przez \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Użyj tożsamości pitagorejskiej.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Przepisz granicę.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Granicą \lim_{\beta \to 0}\frac{\sin(\beta )}{\beta } jest 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Skorzystaj z faktu, że funkcja \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} jest ciągła przy wartości 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Podstaw wartość 0 w wyrażeniu \cos(\beta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\beta ).

$$-\sin(\beta )$$

Oblicz

$$\cos(\beta )$$