Rozwiąż [1+1/sqrt{2}+1/2][1-1/sqrt{2}+1/2]

$$[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ]$$

Oblicz

$$\frac{7}{4}=1,75$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{1}{\sqrt{2}} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{2}.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Przekonwertuj liczbę 1 na ułamek \frac{2}{2}.

$$\left(\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Ponieważ \frac{2}{2} i \frac{1}{2} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\left(\frac{2+1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Dodaj 2 i 1, aby uzyskać 3.

$$\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Ponieważ \frac{3}{2} i \frac{\sqrt{2}}{2} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{1}{\sqrt{2}} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Przekonwertuj liczbę 1 na ułamek \frac{2}{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Ponieważ \frac{2}{2} i \frac{1}{2} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2+1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Dodaj 2 i 1, aby uzyskać 3.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Ponieważ \frac{3}{2} i \frac{\sqrt{2}}{2} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\times \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

Pomnóż \frac{3+\sqrt{2}}{2} przez \frac{3+\sqrt{2}}{2}, aby uzyskać \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

Aby podnieść wartość \frac{3+\sqrt{2}}{2} do potęgi, podnieś licznik i mianownik do potęgi, a następnie wykonaj dzielenie.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{2^{2}}$$

Dodaj 9 i 2, aby uzyskać 11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{2^{2}}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{4}$$

Rozłóż na czynniki

$$\frac{7}{2 ^ {2}} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$